【数学】教师招聘考试：必备考点函数

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 《数学》学科专业知识必备考点：函数

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函 数

一、复习要求

1、 函数的定义及通性；

2、函数性质的运用。

二、学习指导

1、函数的概念：

（1）映射：设非空数集A，B，若对集合A中任一元素a，在集合B中有唯一元素b与之对应，则称从A到B的对应为映射，记为f：A→B，f表示对应法则，b=f(a)。若A中不同元素的象也不同，则称映射为单射，若B中每一个元素都有原象与之对应，则称映射为满射。既是单射又是满射的映射称为一一映射。

（2）函数定义：函数就是定义在非空数集A，B上的映射，此时称数集A为定义域，象集C={f(x)|x∈A}为值域。定义域，对应法则，值域构成了函数的三要素，从逻辑上讲，定义域，对应法则决定了值域，是两个最基本的因素。逆过来，值域也会限制定义域。

求函数定义域，通过解关于自变量的不等式（组）来实现的。要熟记基本初等函数的定义域，通过四则运算构成的初等函数，其定义域是每个初等函数定义域的交集。复合函数定义域，不仅要考虑内函数的定义域，还要考虑到外函数对应法则的要求。理解函数定义域，应紧密联系对应法则。函数定义域是研究函数性质的基础和前提。

函数对应法则通常表现为表格，解析式和图象。其中解析式是最常见的表现形式。求已知类型函数解析式的方法是待定系数法，抽象函数的解析式常用换元法及凑合法。

求函数值域是函数中常见问题，在初等数学范围内，直接法的途径有单调性，基本不等式及几何意义，间接法的途径为函数与方程的思想，表现为△法，反函数法等，在高等数学范围内，用导数法求某些函数最值（极值）更加方便。

在中学数学的各个部分都存在着求取值范围这一典型问题，它的一种典型处理方法就是建立函数解析式，借助于求函数值域的方法。

（1）奇偶性：函数定义域关于原点对称是判断函数奇偶性的必要条件，在利用定义判断时，应在化简解析式后进行，同时灵活运用定义域的变形，如f(-x)f(x)=0， （f(x)≠0）。

奇偶性的几何意义是两种特殊的图像对称。

函数的奇偶性是定义域上的普遍性质，定义式是定义域上的恒等式。

利用奇偶性的运算性质可以简化判断奇偶性的步骤。

（2）单调性：研究函数的单调性应结合函数单调区间，单调区间应是定义域的子集。

判断函数单调性的方法：①定义法，即比差法；②图象法；③单调性的运算性质（实质上是不等式性质）；④复合函数单调性判断法则。

函数单调性是单调区间上普遍成立的性质，是单调区间上恒成立的不等式。

函数单调性是函数性质中最活跃的性质，它的运用主要体现在不等式方面，如比较大小，解抽象函数不等式等。

（3）周期性：周期性主要运用在三角函数及抽象函数中，是化归思想的重要手段。

求周期的重要方法：①定义法；②公式法；③图象法；④利用重要结论：若函数f(x)满足f(a-x)=f(a+x)，f(b-x)=f(b+x)，a≠b，则T=2|a-b|。

（4）反函数：函数是否是有反函数是函数概念的重要运用之一，在求反函数之前首先要判断函数是否具备反函数，函数f(x)的反函数f-1(x)的性质与f(x)性质紧密相连，如定义域、值域互换，具有相同的单调性等，把反函数f-1(x)的问题化归为函数f(x)的问题是处理反函数问题的重要思想。

设函数f(x)定义域为A，值域为C，则

 f-1[f(x)]=x，x∈A

 f[f-1(x)]=x，x∈C

1、 函数的图象

函数的图象既是函数性质的一个重要方面，又能直观地反映函数的性质，在解题过程中，充分发挥图象的工具作用。

图象作法：①描点法；②图象变换。应掌握常见的图象变换。

4、本单常见的初等函数；一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数。在具体的对应法则下理解函数的通性，掌握这些具体对应法则的性质。分段函数是重要的函数模型。

对于抽象函数，通常是抓住函数特性是定义域上恒等式，利用赋值法（变量代换法）解题。联系到具体的函数模型可以简便地找到解题思路，及解题突破口。

应用题是函数性质运用的重要题型。审清题意，找准数量关系，把握好模型是解应用题的关键。

5、主要思想方法：数形结合，分类讨论，函数方程，化归等。

三、典型例题

例1、已知，函数y=g(x)图象与y=f-1(x+1)的图象关于直线y=x对称，求g(11)的值。

分析：

利用数形对应的关系，可知y=g(x)是y=f-1(x+1)的反函数，从而化g(x)问题为已知f(x)。

∵ y=f-1(x+1)

∴ x+1=f(y)

∴ x=f(y)-1

∴ y=f-1(x+1)的反函数为y=f(x)-1

即 g(x)=f(x)-1

∴ g(11)=f(11)-1

评注：函数与反函数的关系是互为逆运算的关系，当f(x)存在反函数时，若b=f(a)，则a=f-1(b)。

例2、设f(x)是定义在（-∞，+∞）上的函数，对一切x∈R均有f(x)+f(x+2)=0，当-1<x≤1时，f(x)=2x-1，求当1<x≤3时，函数f(x)的解析式。

解题思路分析：

利用化归思想解题

∵ f(x)+f(x+2)=0

∴ f(x)=-f(x+2)

∵ 该式对一切x∈R成立

∴ 以x-2代x得：f(x-2)=-f[(x-2)+2]=-f(x)

当1<x≤3时，-1<x-2≤1

∴ f(x-2)=2(x-2)-1=2x-5

∴ f(x)=-f(x-2)=-2x+5

∴ f(x)=-2x+5（1<x≤3）

评注：在化归过程中，一方面要转化自变量到已知解析式的定义域，另一方面要保持对应的函数值有一定关系。在化归过程中还体现了整体思想。

例3、定义在R上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a、b∈R，有f(a+b)=f(a)f(b)，

（1） 求证：f(0)=1；

（2） 求证：对任意的x∈R，恒有f(x)>0；

（3） 证明：f(x)是R上的增函数；

（4） 若f(x)・f(2x-x2)>1，求x的取值范围。分析：（1） 令a=b=0，则f(0)=[f(0)]2

∵ f(0)≠0∴ f(0)=1（2） 令a=x，b=-x

则 f(0)=f(x)f(-x)∴由已知x>0时，f(x)>1>0

当x<0时，-x>0，f(-x)>0∴又x=0时，f(0)=1>0

∴ 对任意x∈R，f(x)>0

（3） 任取x2>x1，则f(x2)>0，f(x1)>0，x2-x1>0∴∴ f(x2)>f(x1)

∴ f(x)在R上是增函数

（4） f(x)・f(2x-x2)=f[x+(2x-x2)]=f(-x2+3x)

又1=f(0)，f(x)在R上递增

∴ 由f(3x-x2)>f(0)得：3x-x2>0∴ 0<x<3　　　

评注：根据f(a+b)=f(a)・f(b)是恒等式的特点，对a、b适当赋值。利用单调性的性质去掉符号"f"得到关于x的代数不等式，是处理抽象函数不等式的典型方法。