第二章 小学数学学科知识

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一、单项选择题

1．第一次确立了直观几何知识在我国小学算术课程中的地位的教学大纲是（　　）。

A．《小学算术课程暂行标准(草案)》

B．《小学算术教学大纲(草案)》

C．《全日制小学算术教学大纲(草案)》

D．《全日制十年制学校小学数学教学大纲(试行草案)》

2．我国历史上第一部把小学算术课程拓展为小学数学课程的大纲是（　　）。

A．《全日制十年制学校小学数学教学大纲(试行草案)》

B．《小学算术课程暂行标准(草案)》

C．《全日制小学算术教学大纲(草案)》

D．《小学算术教学大纲(草案)》

3．小学数学课程具有（　　）、普及性、发展性。

A．综合性

B．选拔性

C．基础性

D．锻炼性

4．义务教育阶段数学课程目标从知识技能、数学思考、（　　）、情感态度四个方面加以阐述。

A．计算能力

B．问题解决

C．数学思维

D．数学素养

5．在各学段中，数学课程安排了四个部分的课程内容：“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”（　　）。

A．“综合与实践”

B．“空间”

C．“问题解决”

D．“计算”

6．在解数学题时，学生常从问题的目标状态往回走，先确定达到该目标所需要的条件，然后再将达到目标所需要的条件与问题提供的已知条件进行对比，完成证明过程。这种方法属于问题解决中的（　　）。

A．反推法

B．算法

C．简化法

D．类比法

7．小学数学课程总目标和学段目标分别从（　　）方面加以阐述。

①知识技能②数学思考③问题解决④情感态度

A．①②④

B．①②③

C．①③④

D．①②③④

8．我国古代数学家中将圆周率精确到小数点后第六位的是（　　）。

A．张衡

B．祖冲之

C．刘徽

D．王孝通

9．（　　）作为教学用书，由唐高宗下令定为全国通用的数学教材，这是我国国家审定数学教科书的开端。

A．《算经十书》

B．《周髀算经》

C．《九章算术》

D．《张丘建算经》

10．一个两位数，十位上的数字是a，个位上的数字是b，这个两位数用含有字母的式子表示为（　　）。

A．ab

B．10a+b

C．10b+a 

D．10(a+b)

11．一名射击运动员连续射靶8次，命中的环数如下：8、9、10、9、8、7、10、8，这名运动员射击环数的众数和中位数分别是（　　）。

A．3与8

B．8与8．5

C．8．5与9

D．8与9

12．下列说法正确的是（　　）。

A．用字母表示数，可以把数量关系简明地表达出来，但不可以表示运算的结果

B．一个小数由整数部分、小数部分和小数点部分组成

C．把一个分数化成同它相等但是分子、分母都比较小的分数，叫作通分

D．分子比分母小的分数叫带分数

13．下列关于平面图形的说法，不正确的是（　　）。

A．特征是对边相等、四个角都是直角的四边形，有两条对称轴的是长方形。

B．四条边都相等、四个角都是直角的四边形，有四条对称轴的是正方形。

C．连接圆心和圆上任意一点的线段叫作半径

D．两组对边分别平行的四边形是矩形

14．下列事件为必然事件的是（　　）。

A．通常加热到100℃，水沸腾

B．抛一枚硬币，正面朝上

C．明天会下雨

D．经过城市中某一有交通信号灯的路口，恰好遇到红灯

15．下列不属于小学数学综合性学习特点的是（　　）。

A．密切联系实际

B．综合应用知识

C．以接受为主线

D．形式要多样化

16．（　　）的主要目的是为了全面了解学生数学学习的过程和结果，激励学生学习和改进教师教学。

A．学习评价

B．学习反思

C．成绩考核

D．学习计划

二、材料分析题

1．阅读下列材料，回答问题。

一年级上册《跳绳》(8和9的加减法)的主题图上有：1幢教学楼，教学楼边上有1面五星

红旗和许多树木，操场上有8个小朋友在跳绳，问题是“说一说”。下面是教师关于数字8的教学片段：

①出示挂图。

②提问题。

师：看了这幅图。你发现了什么?

生1：我看见了房子?

师：你真能干。

生2：我发现了红旗。

生3：我发现了树木。

生4：我发现了小朋友在跳绳。

生5：我发现了地上有小草。

教师不管学生如何回答，都一一加以肯定，以示教学的民主。待过了5分钟，教师急忙抛出：“谁能提出有关8的加减法?”

问题：请从问题的目的性与开放性的角度分析材料。

2．阅读下列材料，回答问题。

案例：象征性长跑

为了迎接奥运会的召开，某小学决定组织“迎接圣火、跑向北京”的象征性长跑活动，学。校向同学们征集活动方案，请你参加设计，其中要解决的问题有：

(1)调查你所在的学校到北京天安门的距离约有多少千米?

(2)如果一个人每天跑一个“马拉松”，那么几天能完成这项长跑?

(3)如果全班用接力方式开展这项活动，请你设计一个合理的活动方案。

(4)全班交流、展出同学们的不同方案，说明各个方案的特点，同学之间评价方法的优缺点，推荐本班的最佳活动方案。

问题：请对该案例进行简要说明。

3．阅读下列材料，回答问题。

两位教师上《圆的认识》一课。

教师A在教学“半径和直径关系”时，组织学生动手测量、制表，然后引导学生发现“在

同一圆中，圆的半径是直径的一半”。

教师B在教学这一知识点时是这样设计的：

师：通过自学，你知道半径和直径的关系吗?

生1：在同一圆里，所有的半径是直径的一半。

生2：在同一圆里，所有的直径是半径的2倍。

生3：如果用字母表示，则是d=2r，r=d／2。

师：这是同学们通过自学获得的。你们能用什么方法证明这一结论是正确的呢?

生1：我可以用尺测量一下直径和半径的长度，然后考查它们之间的关系。

师：那我们一起用这一方法检测一下。

师：还有其他方法吗?

生2：通过折纸，我能看出它们的关系。

问题：

(1)两个案例的主要共同点是什么?是否真正了解学生的起点?

(2)从线性与非线性的观点分析两个教法。预测两个教法的教学效果。

三、教学设计题

1．请认真阅读下述材料，并按要求作答。

在《平行四边形的认识》这一课上，特别指出平行四边形与三角形不同，容易变形，具有不稳定性，且这种不稳定性在实践中有广泛的应用。

请根据上述材料回答以下问题：

(1)如何指导高年级学生学习该知识，拟订教学目标。

(2)根据拟订的教学目标，针对重点难点设计相应的教学活动并说明理由。

2．请为人教版义务教育课程标准实验教科书《小学数学》三年级下册“位置与方向”编写教学设计。

3．(2014年真题)请认真阅读下列教材，并按要求回答。

 

请根据上述材料回答下列问题：

(1)什么是运算能力?如何发展学生的运算能力?

(2)如指导中年级小学生学习，试拟订教学目标。

(3)依据拟订的教学目标，设计导入环节并说明理由。

4．请认真阅读下文，并按要求作答。

问题：16支足球队参加比赛，比赛以单场淘汰制(即每场比赛淘汰1支球队)进行，请问一共要进行多少场比赛才能产生一支冠军队?

解法1：按照比赛进程，第一轮16支球队进行8场比赛，淘汰8支球队；第二轮，首轮晋级的8支球队进行4场比赛，淘汰4支球队；第三轮，再次晋级的4支球队进行2场比赛，淘汰2支球队；第四轮，2支球队进行决赛，产生1支冠军队。所以，一共要进行15(8+4+2+1)场比赛，才能产生1支冠军队。

解法2：匈牙利数学家路莎•佩特曾说：“数学家往往不是对问题进行正面的攻击，而是不断地将它变形，甚至把它转化为已经得到解决的问题。”据此，由16支球队产生1支冠军队就要淘汰15支球队，每淘汰1支球队就要进行一场比赛。所以，一共要进行15(16-1)场比赛，才能产生1支冠军队。

请根据上述材料回答以下问题：

(1)上述两种解法的思路是什么?

(2)第二种解法所反映的数学思想方法是什么?

(3)如指导小学高年级学生学习该数学思想方法，试拟订教学目标。

(4)依据拟订的教学目标，设计课堂教学的导入环节并简要说明理由。

一、单项选择题

1．B【解析】1952年，我国颁布了《小学算术教学大纲(草案)》，第一次确立了直观几何知识在我国小学算术课程中的地位。《全日制小学算术教学大纲(草案)》中第一次提出了培养学生空间观念的要求。

2．A【解析】1978年颁布的《全日制十年制学校小学数学教学大纲(试行草案)》是我国第一部把小学算术课程拓展为小学数学课程的大纲。它第一次从知识、能力和思想教育三个方面明确数学教学的目标，对改进小学数学教学起到了指导作用。

3．C【解析】义务教育阶段的数学课程是培养公民素质的基础课程，具有基础性、普及性和发展性。

4．B【解析】义务教育阶段数学课程目标分为总目标和学段目标，从知识技能、数学思考、问题解决、情感态度四个方面加以阐述。

5．A【解析】《义务教育数学课程标准》中规定：在各学段中，安排了四个部分的课程内容：“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”。

6．A【解析】反推法即学生从问题的目标状态往回走，倒退到起始状态，得出要达到该目标需要什么条件，最后把达到目标所需要的条件与问题提供的已知条件进行对比，从而解决问题的一种方法。

7．D【解析】《课程标准》统筹考虑小学阶段的数学课程内容，课程总目标和学段总目标都是从知识技能、数学思考、问题解决、情感态度四个方面加以阐述的。

8．B【解析】祖冲之在《九章算术》的基础上，将传统数学大大向前推进了一步，计算圆周率精确到小数点后第六位，得到3．1415926<π<3．1415927，并求得π的约率为22／7，密率为355／113，其中密率是分子分母在1000以内的最佳值。

9．A【解析】由李淳风等人审定并注释了汉朝以来的十部算经，统称为《算经十书》，它是我国国家审定数学教科书的开端。

10．B【解析】因为两位数的十位数字为a，个位数字为b，所以这个两位数可以表示为10a+b。

11．B【解析】众数是指在一个数列中，出现频率最多的一个数；中位数是指对一组数进行排序(从大到小或从小到大)后，正中间的一个数(数字个数为奇数)或者中间两个数的平均数(数字个数为偶数)。从题中观察可得8出现了3次，出现次数最多，对该组数字进行排序(从小到大)为：7、8、8、8、9、9、10、10，中间两个数是8和9，所以其中位数是(8+9)÷2，即8．5。

12．B【解析】一个小数由整数部分、小数部分和小数点部分组成。数中的加点叫作小数点，小数点左边的数叫作整数部分，小数点右边的数叫作小数部分。

13．D【解析】矩形是一种平面图形，矩形的四个角都是直角，同时矩形的对角线相等，而且矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等。

14．A【解析】通常加热到100℃，水沸腾是必然事件；抛一枚硬币，正面朝上是不确定事件；明天会下雨是不确定事件；经过城市中某一有交通信号灯的路口，恰好遇到红灯是不确定事件。

15．C【解析】小学数学以探索为主线，这一过程需要学生独立思考、自主探索。

16．A【解析】学习评价的主要目的是为了全面了解学生数学学习的过程和结果，激励学生学习和改进教师教学。

二、材料分析题

1．【参考答案】

教师在设计问题时，首先考虑到的是问题的开放性，在数学探究过程中，设计出了大量的开放性、具有一定思维空间的问题。但是，这些问题同样存在目的性不强，答案不着边际的弊端，学生在回答这类问题时，出现这样那样的答案。老师对他们的回答只能做出一些合理性的评价。但是，学生的回答和老师的评价使得我们的数学课堂离我们心目中的理想的数学课堂却越来越远。所以，老师在设计问题时不仅要充分考虑问题的开放性，更要考虑设计问题的目的性，设计的问题应当明确，具体可测，大部分学生能寻求到比较正确的答案。

2．【参考答案】

该案例适用于第二学段的各个年级，要求可以不同。可以分小组活动，分工调查关键数据(如调查学校到北京的距离，如果是北京的学校就要改变长跑的目的地，比如，可以把目的地改为延安)，学生分组集体讨论后，可以制订一个计划，自主提出适合自己班级特点的“长跑方案”，比如，可以给男、女生提出不同的日跑量，提出哪一天跑到“中途某一个城市”，等等。

因此，这是一个灵活的开放问题。教师可以组织学生交流不同方案，同学之间评价不同方案的优缺点，推荐本班的最佳活动方案，丰富学生的活动体验。

3．【参考答案】

(1)两位教师的案例都注重学生的实践操作。通过动手操作来理解直径和半径的特征及联系。B教师设计，是学生不断激活“内存”的过程。建构主义是非常强调个体的经验的，个体的一切学习活动都是以经验为基础展开的，让学生充分调集和展示经验，是师生高效对话的前提。我们不仅要充分承认学生不是一张白纸。还要尽可能了解学生已经有了哪些颜色。

(2)很明显，第二位老师已经为学生创设了一次成功的数学活动，我们可以预测这样的活动一定能让学生感受到了数学的无穷魅力。这种魅力，一方面是因为它承接了学生原有的认知经验，学生感受到数学很简单、很平常、很好玩，有信心，有兴趣去学习。另一方面，学生通过多感官的活动，探究这些亲切有趣的现象背后的原理，建立一定的数学模型，培养一定的数学能力，由此得到更多的发展空间和持续动力。

三、教学设计题

1．【参考答案】

(1)从学生“学”的角度出发，挖掘、拓展学生的探索过程，让学生“像科学家一样去研究、发现”，使他们在获得数学知识的同时，思维能力、情感态度与价值观等诸方面得到发展。同时，教师应从学生已有的知识结构出发，带着问题研究平行四边形，通过制作、猜想、验证进行本堂课的教学。在学生发现问题的过程中，把问题作为教学的出发点，使学生自觉地进行知识迁移，进而对与旧知识密切相关的新知识进行深入思考，使学生在体会数学的魅力同时发展智慧。

教学目标：

①对比三角形，理解平行四边形容易变形的特性。培养学生观察比较、抽象概括、动手操作、空间想象等能力。

②通过观察、对比、合作交流、动手操作，使学生在探究中掌握平行四边形的有关知识，掌握发现问题、提出问题的学习方法。

③使学生感受到平行四边形不稳定性在生活中的广泛应用，感受到数学知识与现实生活的密切联系。在探究中体验学习的乐趣。

(2)平行四边形的不稳定是个难点，针对这一难点设计如下活动：首先拿一个长方形木框，用两手捏住长方形的两个对角，向相反方向拉。引导学生观察两组对边有什么变化?拉成了什么图形?什么没有变?接下来，让学生自己动手，把准备好的长方形框拉成平行四边形，并测量两组对边是否还平行。然后，根据刚才的实验、测量，引导学生概括出平行四边形具有不稳定性。最后说明三角形具有稳定性，不容易变形。平行四边形与三角形不同，容易变形，也就是具有不稳定性。这种不稳定性在实践中有广泛的应用。请学生举出实际例子。

这样设计活动让学生经历知识与技能的形成与应用过程，不仅让学生经历了观察、实验、猜想、验证、推理与交流等数学活动，而且还让学生在现实生活中发现问题、解决问题，体会数学的价值，发展实践能力和创新精神。

2．【参考答案】

教学目标：

1．结合具体情境，认识东、南、西、北四个方向，并能用这些方位词描述物体所在的方向。

2．学会在给定的条件下确定平面图上的方向。学会看简单的路线图，并能描述行走的路线。

3．通过现实的数学活动，培养学生辨认方向的意识，进一步发展学生的空间观念。

4．通过活动体验。培养学生热爱生活、学以致用的意识和小组合作的精神，感受数学与现实生活的密切联系。

教学重点：

目标1、2、3。

教学难点：

目标1、2。

教学用具：

CAI，学生每组一张校园平面设计图。

教学过程：

(一)谈话激趣、导入新课

1．我们家乡有哪些旅游景点，谁能向老师介绍一下?

2．学生可能回答下列景点：连珠塔、大观园、龙鳞宫、梭步石林等(学生每说一处，教师用CAI播放画面，配以轻音乐)。

3．小结：同学介绍了这么多旅游景点，有时间我们一同去玩玩好吗?

4．大观园这么好玩，请你指给我看看它在学校的哪个方向。

5．学生回答(略)

师：现在，我知道我们班的许多同学都和东、南、西、北交上朋友了，今天这节课我们就一起来学习有关位置和方向的知识(板书课题)。

(二)活动体验、学习新知

1．学生介绍辨别方向的方法

师：在日常生活中你会辨别方向吗?你是怎样辨别的?

(学生可能有以下回答)

生：我看太阳辨别方向，面对太阳升起的一方是东，后面是西，左面是北，右面是南。

师：这个办法真好，请你把这个方法教给同学们好吗?

(全班师生边说边做动作)

师：除了这种方法，还有哪些方法可以辨别方向呢?

生：我是用指南针辨别方向的，指南针红色的指针指向北，另一边指向南。

师：你是从哪里知道这个方法的?看来自然课上也有我们的数学知识。

生：如果是在雪地还可以观察积雪辨别方向，积雪化得快的是南，化得慢的是北。

生：在深山中可以观察树叶来辨别方向，树叶稠的一面是南，树叶稀的一面是北。

生：如果是晚上，还可以用北极星辨别方向，面向北极星，前面是北，后面是南，左面是西，右面是东。

师：这些方法都很棒。我们一起来跟着后面这位同学说的边说边做动作好吗?

(师生边说边做动作)

2．学生介绍班级情况

师：同学们认识了东、南、西、北，又自己体验了东、南、西、北这四个方向。现在，谁能用这些方位词介绍一下我们这个教室的情况吗?

生(站在教室中间介绍)：教室的东边有一排窗户，西边有蓝色的玻璃门，南边有屏幕，北边是学习园地。

3．游戏活动：听口令做动作

活动①：老师叫口令。师生做动作

师：请坐在教室东边的同学起立，我们一起跺跺脚；请坐在教室西边的同学起立，我们一起拍拍手；请坐在教室南边的同学起立，我们一起摸摸脸；请坐在教室北边的同学起立，我们一起挥挥手。

活动②：学生帮助老师叫口令

(三)实践运用、发展新知

师：课的开始同学们介绍了恩施旅游景点，现在我们一起到大观园看看好吗?哪个同学愿意当小导游带老师和同学走一走。

生：(东、南、西、北四个方向的同学各站一队，老师站在最后)大家好，我是小导游某某，欢迎你到恩施来。现在，我们一起从学校出发……

3．【参考答案】

(1)运算能力是一种基本的数学能力。学生四则基本运算能力的发展是与学生的数的概念的发展紧密联系在一起的，表达了数与数之间的关系，发展了学生的计量观念。运算能力的较高发展是小学生学好数学的一个重要方面，在小学阶段，运算能力主要表现在能够正确、快速、合理灵活地对整数、小数、分数、百分数的四则运算及其混合运算上，表现在数和式的熟练而丰富的恒等变形上，表现在基本数量关系的等价变换上。

发展学生的运算能力要做好以下四个方面：

①首先要让学生充分认识到计算的重要性；

②要重视基础知识的学习和理解；

③要培养学生良好的计算习惯；

④加强练习，严格训练。

(2)根据小学中段学生的学习特点，可将本课的教学目标设置如下：

①知识与技能目标：掌握两位数乘两位数的过程，理解其算理，掌握其计算法则。

②过程与方法目标：通过小组和全班同学的交流合作，感受计算两位数乘两位数方法的多样化，培养数感和数学思维能力、交流能力及合作意识。

③情感态度和价值观目标：在自主探究解决问题的过程中，体验成功的喜悦或失败的情感，体会数学在日常生活中的运用。

(3)结合教学目标，可采用问题导入的方法：

教师可提问：“妈妈要去超市买东北大米，每斤是l2块钱。妈妈买了15斤，妈妈带了200元钱。请同学们帮妈妈算算，妈妈带的钱够吗?”

这样的问题非常贴近学生的日常生活，通过帮助妈妈算一算的小任务，能够激起小学生好奇、好学的性格。这个问题可以让学生通过猜测来获得答案，从而提高对数的感知和直觉思维能力，同时也使学生明确要解决的问题和本课的学习内容。

4．【参考答案】

(1)解法1为正向思维，解法2为反向思维。

(2)第二种解法所反映的数学思想是转化。转化是一种常见的、极为重要的解决问题的策略，是重要的数学思想方法“化归思想”的具体表现。运用转化的思想去处理问题，可以使问题化难为易，化繁为简，化未知为已知，其关键是要能根据具体的问题，确定转化后要实现的目标和具体的转化方法。

(3)教学目标：

①知识与技能目标：让学生回顾用转化策略解决问题的过程，通过解决具体问题，感悟转化的含义。

②过程与方法目标：让学生在具体问题的解决过程中，进一步积累运用转化策略的经验，掌握一些常用方法和转化技巧。

③情感态度与价值观目标：让学生进一步增强解决问题的策略意识，体会运用转化的策略是解决问题的有效方法，增强克服困难的勇气，获得成功的体验。

(4)创设情境，揭示“转化”

数学是和生活密切联系的，课的开始，我先跟学生讲了一个爱迪生和他的助手测量灯泡体积的故事。助手花了几个小时的时间来计算灯泡的体积，也没有算出来，爱迪生能很快地算出来，让学生猜一猜爱迪生是用的什么方法?

根据学生的回答，我适时小结：把灯泡的体积转化成水的体积，就是一种非常重要的解决问题的策略，叫作“转化”。

【设计意图】通过故事情境导入新课，激发学生的学习兴趣。